iMadrassa
هل أنت متأكد من إجابتك؟ إذا كان الجواب الصحيح إذا كان الجواب خاطئ
غير متأكد 10 نقاط 3 نقاط
لديك شك 15 نقطة 0 نقطة
متأكد من إجابتك 20 نقطة 3- نقاط
دروس تمارين

Applications linéaires

I Applications linéaires

Une application entre deux espaces vectoriels est dite linéaire si elle respecte les deux opérations définissant la structure.

Soient

et
deux espaces vectoriels sur un même corps
et
une application de
dans
. Dire que
est linéaire signifie que les deux assertions suivantes sont vraies :

 

Ces deux assertions peuvent être réunies en une seule :  

 

On note

l'ensemble des applications linéaires de
dans
et
l'ensemble des applications linéaires de
dans
.

  • Un endomorphisme d'un espace vectoriel
    est une application linéaire de
    dans
    .
  • Un isomorphisme de
    sur
    est une application linéaire bijective.
  • Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
  • Une forme lineaire sur
    est une application linéaire de
    sur
    .
1 Image et noyau
  • Soit
    une application linéaire et
    un sous-espace vectoriel de
    . Alors
    est un sous-espace vectoriel de
    . En particulier,
    est un sous-espace vectoriel de
    , appelé image de
    et note
    .
  • Soient
    et
    deux espaces vectoriels de dimension finie et
    . La dimension de
    est appelée rang de
    et est notee
    .
  • Soit
    une application linéaire. On pose
    
    0 = 0_F
    Ker f
    E
    é
    f$$.
2 Injectivité, surjectivité et bijectivité

Soit

.
est surjective si et seulement si
.

Soit

.
est injective si et seulement si
.

Soit

et
une famille de vecteurs de
.

  • Si
    est injective et si la famille
    est libre dans
    , alors la famille
    est libre dans
    .
  • Si
    est surjective et si la famille
    est generatrice de
    , alors la famille
    est generatrice de
    .
  • En particulier, si
    est bijective, l'image d'une base de
    est une base de
    .
3 Théorème du rang
  • Soit
    et
    deux espaces vectoriels de dimension finie et
    . On a
  • Soit
    ou
    et
    sont deux espaces vectoriels de même dimension finie. Les proprietes suivantes sont équivalentes : i)
    est injective  , ii)
    est surjective, iii)
    est bijective
  • Soit
    . On a les équivalences suivantes :

est bijective

4 Matrices associées aux applications linéaires

On appelle matrice de

dans les bases
de
et
 de
la matrice, notée
 appartenant à
  dont les colonnes sont les composantes des vecteurs
dans la base

Posons

pour tout 
 La matrice de
dans les bases 
de
et
 de
est alors la matrice

A Ecriture matricielle d'une application linèaire

Soit

avec
. On a

Si on represente le vecteur

dans la base
par une matrice-colonne
et le vecteur
dans la base 
 par une matrice-colonne
, on a alors :

Soient

et
deux espaces vectoriels sur
de dimension
et
respectivement,
et
des bases de
et
.

L'application

 est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

On a donc, pour toutes les applications linéaires

et
de
dans
et tout
  :
;
  et
est bijective.

  • 
  • Soient
    ,
    et
    trois espaces vectoriels de dimension finie sur
    ,
    ;
    et
    des bases de
    et
    respec-tivement. Soient
      et 
    .On a  : 
  • Soient
    et
    deux espaces vectoriels de même dimension
    sur
    . Soient
    et
    des bases de
    et
    respectivement.Une application lineaire 
     est bijective si et seulement si 
     est inversible. De plus, 
     
  •  
B Matrice de passage

Soient

un espace vectoriel de dimension
et
et
deux bases de
.

On appelle matrice de passage de la base

à la base
lamatrice, notée
dont les colonnes sont les composantes des vecteurs
dans la base
.La matrice 
 est la matrice de l'endomorphisme
 dans les bases 
et 
.

  • La matrice de passage
     est inversible et son inverse est la matrice de passage
    .Soit
     de composantes 
     dans la base
     et de composantes 
     dans la base 
     On note P la matrice de passage de la base 
     a la base 
    et 
      et 
     
C Changement de base sur la représentation matricielle
  • Soient  
    ,
    et 
     deux bases de
    et 
     et 
     deux bases de F. On note : 
    ; 
    ;
    et 
    . On a alors 
  • Soit
    ,
    et 
     deux bases de
    .Notons : 
    ; 
    ;
     On a alors  
    . Deux matrices
    et
    sont dites semblables.
D Rang d'une matrice
  • Soit
    une famille de vecteurs. On appelle rang de la famille
     la dimension de l'espace vectoriel engendre par cette famille.
  • Soit
    .On appelle rang de
    le rang de la famille formee par les vecteurs colonnes de
    .
  • Soient
    et
    deux espaces vectoriels de dimension finie et 
    .Soient
    et 
     deux bases quelconques de
    et
    respectivement et 
    .on a alors
  • Deux matrices qui représentent la même application linèaire dans des bases différentes ont même rang ; en particulier, deux matrices semblables ont même rang.
  • Pour toute matrice
    , on a
    = $$rg^t A. Il s'ensuit que le rang d'une matrice est aussi egal au rang de la famille des vecteurs lignes.

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.