Applications linéaires
Une application entre deux espaces vectoriels est dite linéaire si elle respecte les deux opérations définissant la structure.
Soient
Ces deux assertions peuvent être réunies en une seule :
On note
- Un endomorphisme d'un espace vectoriel est une application linéaire dedans.
- Un isomorphisme de surest une application linéaire bijective.
- Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
- Une forme lineaire sur est une application linéaire desur.
- Soit une application linéaire etun sous-espace vectoriel de. Alorsest un sous-espace vectoriel de. En particulier,est un sous-espace vectoriel de, appelé image deet note.
- Soient etdeux espaces vectoriels de dimension finie et. La dimension deest appelée rang deet est notee.
- Soit une application linéaire. On pose0 = 0_FKer fEf$$.
Soit
Soit
Soit
- Si est injective et si la familleest libre dans, alors la familleest libre dans.
- Si est surjective et si la familleest generatrice de, alors la familleest generatrice de.
- En particulier, si est bijective, l'image d'une base deest une base de.
- Soit etdeux espaces vectoriels de dimension finie et. On a
- Soit ouetsont deux espaces vectoriels de même dimension finie. Les proprietes suivantes sont équivalentes : i)est injective , ii)est surjective, iii)est bijective
- Soit . On a les équivalences suivantes :
On appelle matrice de
Posons
Soit
Si on represente le vecteur
Soient
L'application
On a donc, pour toutes les applications linéaires
- Soient ,ettrois espaces vectoriels de dimension finie sur,;etdes bases deetrespec-tivement. Soientet.On a :
- Soient etdeux espaces vectoriels de même dimensionsur. Soientetdes bases deetrespectivement.Une application lineaireest bijective si et seulement siest inversible. De plus,
Soient
On appelle matrice de passage de la base
- La matrice de passage est inversible et son inverse est la matrice de passage.Soitde composantesdans la baseet de composantesdans la baseOn note P la matrice de passage de la basea la baseetet
- Soient ,etdeux bases deetetdeux bases de F. On note :;;et. On a alors
- Soit ,etdeux bases de.Notons :;;On a alors. Deux matricesetsont dites semblables.
- Soit une famille de vecteurs. On appelle rang de la famillela dimension de l'espace vectoriel engendre par cette famille.
- Soit .On appelle rang dele rang de la famille formee par les vecteurs colonnes de.
- Soient etdeux espaces vectoriels de dimension finie et.Soientetdeux bases quelconques deetrespectivement et.on a alors
- Deux matrices qui représentent la même application linèaire dans des bases différentes ont même rang ; en particulier, deux matrices semblables ont même rang.
- Pour toute matrice , on a= $$rg^t A. Il s'ensuit que le rang d'une matrice est aussi egal au rang de la famille des vecteurs lignes.