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دروس تمارين

Fonctions hyperboliques

I FONCTIONS HYPERBOLIQUES DIRECTES
1 Fonction cosinus hyperbolique « $$ch$$ »

Elle est définie sur

par :   

  • C’est une fonction paire 
    ,
  • La courbe représentative de
    admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie on l’étudie alors sur l’intervalle
    ou elle est croissante.
  • On a 
    et  
  • Sa dérivée est
  • comme  
     la courbe d’´equation
    est asymptote à la courbe de
  • Sa courbe
2 Fonction sinus hyperbolique « $$sh$$ »

Elle est définie sur

par :   

  • Elle est impaire
    ,
  • La courbe représentative de
    admet l’origine du repère pour centre de symétrie, on l’étudie sur l’intervalle 
  • On a
    et  
  • Sa dérivée
  • Comme
    , la courbe d’équation
     est asymptote à la courbe représentative de
    .
  • Sa courbe

et 
d’où, en multipliant

De par leur définition et les propriétés de la fonction exponentielle, ces deux fonctions sont continues et dérivables sur

3 Fonction tangente hyperbolique

Elle est définie sur

par :   

  • Elle est impaire 
    ,
  • La courbe représentative de
    admet l’origine du repère pour centre de symétrie, on l’étudie sur l’intervalle
    .
  • On a
    et  
    . Les droites d’équation
    et
    sont donc asymptotes à la courbe représentative de
    .
  • Sa dérivée
  • Sa courbe
4 Formules à retenir
  • Relations fondamentales

; 
;
;

  • Formules d'addition (cas particulier)

  • Formules d'addition

    ; 
 

   ;  

   ;  

II FONCTIONS HYPERBOLIQUES RECIPROQUES (INDIRECTES)
1 Fonction argument cosinus hyperbolique « $$argch$$ »

C’est la bijection réciproque de la fonction

, c’est donc une bijection croissante de
[ vers
c'est-à-dire  

  • Elle est continue et  dérivable sur
    ,
  • On a   
  • Son expression sous forme logarithmique
    si 
2 Fonction argument sinus hyperbolique « $$argsh$$ »

C’est la bijection réciproque de

vers
de la fonction
,   

  • Elle est impaire,
    ,
  • Elle est continue et dérivable sur
    ,
  • On a
    et
  • Son expression logarithmique
    ,
3 Fonction argument tangente hyperbolique « $$argth$$ »

C'est une bijection de

dans
de la fonction
,  

  • Elle est impaire,
    , on l’étudie alors sue l’intervalle
  • Elle est continue et dérivable sur
    ,
  • Son expression logarithmique :
    ,
4 Propositions

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