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دروس تمارين

Electrostatique

I Electrostatique
CHAMP ELECTRIQUE

En électrostatique, on appelle champ électrique une région de l’espace où, en tout point, une charge

, maintenue immobile, est soumise à l’action d’une force électrique.

On introduit alors une grandeur vectorielle

 telle que :
   d’où

Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle isolée

Dans le cas où le champ électrostatique est créé par une seule charge source

, la force exercée sur la charge immobile 
est donnée par la loi de Coulomb :

L’expression du champ électrostatique est donc :

 

Champ créé par un ensemble de charges ponctuelles : Principe de superposition

On envisage maintenant le cas de deux charges ponctuelles fixes,

 et
. Avec le principe de superposition, nous admettons que l’action de
 sur
n’est pas modifiée par la présence de
 (pareillement pour
), l’action conjuguée de
 et
 sur
est alors la somme des actions de
 et de
 agissant séparément :

  

Le champ

crée en un point
par deux charges ponctuelles est la somme des deux champs
 et
 crées par chacune des chrages
et
.

Champ créé par une distribution continue de charges

Dans le cas d'un fil chargé avec une densité linéique

, chaque élement  
porte une charge
et crée un champ élementaire

le champ créé par

est :

Dans le cas d’une surface chargée avec une densité surfacique 

 telle que
,on a :

De même dans le cas d’un volume

chargé avec une densité volumique
 telle que
,on trouve:

(

,
et
désignent respectivement les éléments de longueur, de surface et de volume.)

 

POTENTIEL ELECTRIQUE

Le vecteur

dérive d’une fonction scalaire :
 

Or, le potentiel à l'infini est nul, ce qui donne

et donc  

On peut écrire :

Soit :

Ce résultat, trouvé dans le cas d’une seule charge source, est général : Le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire

.

Ses composantes sont :

En coordonnées cartesiennes

   
       

En coordonnées cylindriques :

     
           

En coordonnées polaires:

       

En coordonnées sphériques:

     
     

La variation du potentiel électrique entre les positions A et B et ne dépend pas du chemin suivi. Elle est donnée par la relation :

Cette expression prouve que :  

La circulation du champ électrostatique le long d’une courbe fermée quelconque est nulle.

 

Potentiel électrique créé par plusieurs charges, par une distribution de charges

On applique le principe de superposition, ainsi, le potentiel créé par

charges fixes
 ,
,
,
 …
 , est :  

Lorsque la charge

est répartie sur un fil avec une densité linéique
 :  

Dans le cas d’une surface chargée avec une densité surfacique

 :

Dans le cas d’un volume

chargé avec une densité volumique
:

 

Passage du champ au potentiel et du potentiel au champ

 (permet de calculer
à partir de
)

d’où,  

   
   
 (permet de determiner
à partir de
)

Cette relation entre

 et
s’écrit plus brievement:

 

Topographie de l’espace électrique
  • Ligne de champ : Une ligne de champ est une courbe telle qu'en chacun de ses points, le champ électrostatique
     soit porté par la tangente à la courbe.
  • Tube de champ : c’est la surface imaginaire formée par l'ensemble des lignes de champ qui s'appuient sur une courbe fermée (par exemple un cylindre dans la cas de lignes de champ parallèles s'appuyant sur un cercle).
  • Surfaces équipotentielles : c’est la surface
    dont tous les points sont au même potentiel
    .
  • Le potentiel décroit le long d’une ligne de champ :
  • Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles : lorsque
    ,
     
     
  • Les surfaces équipotentielles se resserrent lorsque l’on passe d’une région de l’espace ou le champ est peu intense à une région de champ plus intense :

Si  

, alors

1 Travail et Energie
Travail de la force électrique

Lors d’un deplacement AB nous avons :  

 donc

Energie potentielle

L’energie potentielle electrostatique d’une charge ponctuelle

placée en un point
dans un champ exterieur
est défini comme le travail de la force à fournir pour un déplacement de celle-ci du point
à un point de reference
, ou la charge n’est plus soumise à l’action des autres charges (
)

 

Or

,donc  

Energie interne d’un système de deux charges

C’est le travail à fournir de la part d’un opérateur pour assembler deux charges initialement sans interactions (l’énergie potentielle de la première charge dans le champ de la seconde, ou l’inverse).

Soit une charge 

fixe placée en
et
, une charge qu'on ramène de l'infini à la position
. La distance entre les deux positions est
.

Si le nombre de charges est supérieur à deux on trouve :

Théorème de GAUSS

Le théorème de flux-divergence est un théorème d'analyse vectorielle, utilisable en électrostatique pour obtenir une équation locale du champ électrique.Il s’ecrit : 

On dit aussi:Le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface S fermée entourant des charges

 est égal à la somme de ces charges.

Champ électrique crée par quelques distributions de charges

Lorsqu'il existe des symétries, on peut souvent faire le calcul en appliquant le théorème de Gauss au champ électrique :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée S est proportionnel à la somme des charges qui sont à l'intérieur de cette surface.

Différents cas
  1. Fil rectiligne infini, pris suivant l'axe
     de densité linéique de charge
    , à distance
     du fil:  
  2. Plan infini, uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge
     à distance
    du plan: 
  3. phère creuse de diamètre
    , uniformément chargée en surface, de densité surfacique de charge
    , à distance
    du centre :
  • A l'interieur (
    ) :
  • juste à l'extérieur de la surface (
    ) :
  • A l'exterieur (
    ) :

      4. Sphère pleine de diamètre

, uniformément chargée en volume, de densité volumique de charge
, à distance
 du centre :

  • A l'interieur (
    ):
  • A la surface (
    ) :
  • A l'exterieur (
    ) :

 

 

 

 

 

II Dipôle électrique

Un dipôme électrique est un système de deux charges égales mais de signes opposés, séparées par une courte distance

 

Moment dipolaire

Le dipôle électrique est caractérisé par son moment dipolaire:

Par convention, le moment est dirigé de la charge négative

vers la charge positive
.

Potentiel électrique du dipôle

Le potentiel électrique créé par un dipôle électrique en un point

de l'espace est:

Champ électrique du dipôle

Le champ se calcule à partir du potentiel. On utilise la relation

Les coordonnées polaire de ce champ sont:

,    
    et  

Dipôle placé dans un champ uniforme

Placé dans un champ électrique uniforme

, le dipôle de moment électrique
subit un moment de couple :

Ce moment tend à orienter le moment dipolaire électrique dans la direction et le sens du champ électrique extérieur appliqué

Energie potentielle

L'énergie potentielle d'un dpôle placé dans un champ

est :

Si

, le dipôle est dans une position d'équilibre stable, l'énergie est minimale.

Si

, le dipôle est dans une position d'équilibre instable, l'énergie est maximale.


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