Les Matrices
I Les Matrices
Une matrice
est un tableau de nombres à
lignes et
colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice Une matrice à
lignes et
colonnes est dite matrice d’ordre
ou de dimension
, est une matrice de 3 lignes et 4 colonnes
- Une matrice dont tous les éléments sont nuls est appelée matrice nulle :
- Une matrice ne contenant qu’une ligne (matrice ) est appelée matrice-ligne, ou encore vecteur-ligne
- Une matrice ne contenant qu’une colonne (matrice ) est appelée matrice-colonne, ou encore vecteur-colonne.
- Une matrice ayant le même nombre de lignes et de colonnes (matrice ) est appelée matrice carrée.
1 Matrice carrée
- Dans une matrice carrée, la diagonale est constituée des éléments situés sur la diagonale de la matrice.
- Une matrice carrée dont tous les éléments en dehors de la diagonale sont nuls (certains éléments de la diagonale peuvent aussi être nuls) est appelée matrice diagonale.
A Matrice identité d’ordre $$n$$
On appelle matrice identité d’ordre
, la matrice carrée dont les éléments de la diagonale sont égaux à 1 et tous les autres sont égaux à 0. on la note
est la matrice identité d’ordre 4.
2 Transposée d’une matrice
Soit
une matrice
. La transposée de la matrice
est la matrice
notée
dont les lignes sont les colonnes de
et les colonnes sont les lignes de
.
Soit
la matrice
La transposée de
est la matrice :
3 Égalité de deux matrices
Soit
et
deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes, c’est à dire la même dimension, on dit que
si tous les éléments de
sont égaux aux éléments correspondants de
.
II Opérations élémentaires
1 Addition de matrices
Soit
et
deux matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes. La somme des matrices
et
est la matrice de même dimension que
et
, dont chaque élément est la somme des éléments correspondants de
et
.
2 Multiplication par un réel
Soit
une matrice quelconque et
un réel. Le produit de
par
est la matrice de même dimension que
et dont chaque élément est le produit de
par l’élément correspondant de
.
Soit
et
alors :
3 Propriétés
On admettra les propriétés suivantes :
Soit
,
et
, trois matrices ayant la même dimension,
et
deux réels.
- qui caractérise la commutativité de l’addition matricielle
- qui caractérise l’associativité de l’addition matricielle
-
III Produit de matrices
1 Produit d’une matrice par par un vecteur-colonne(par une matrice $$m × 1$$)
On peut effectuer le produit d’une matrice à
colonnes (quelque soit le nombre
de lignes) par un vecteur-colonne à
lignes. Le résultat est alors un vecteur-colonne à
lignes.
Soit une matrice
et un vecteur-colonne
Le produit
est le vecteur-colonne :
2 Produit d’un vecteur-ligne (matrice $$1 × m$$) par une matrice
On peut effectuer le produit d’un vecteur-ligne à
colonnes par une matrice à
lignes (quelque soit le nombre
de colonnes). Le résultat est alors un vecteur ligne à
colonnes.
3 Produit matricie
Soit
une matrice
et
une matrice
. On peut effectuer le produit d’une matrice à
lignes et
colonnes par une matrice à
lignes et
colonnes. On appelle produit
la matrice de dimension
obtenue en multipliant chaque ligne de
par chaque colonne de
. Plus précisément, le coefficient de la
ème ligne et de la
ième colonne de
est obtenu en multipliant la
ème ligne de
par la
ième colonne de
.
Soit
et
- Calculons
Il faut que ait autant de colonnes que de lignes pour que la calcul soit possible. Dans ce cas, le produit a autant de lignes que et autant de colonnes que .
La matrice
a 3 lignes comme
et 4 colonnes comme
.
4 Propriétés
On admettra les propriétés suivantes :
Soit
,
et
trois matrices réelles ; si les opérations indiquées existent, alors on admettra les égalités suivantes :
- distributivité à gauche de la multiplication des matrices sur l’addition
- distributivité à droite de la multiplication des matrices sur l’addition
- associativité de la multiplication
On considère les matrices :
;
et
=
$$
- est une matrice de dimensionde même que. Il s’en suit queest une matrice de dimension
- est une matrice de dimensiondoncest une matrice de dimension
Soit
une matrice carrée d’ordre
. Soit
un entier naturel non nul. On note
la matrice définie par :
,
fois la matrice
Attention ! ! ! Le calcul de
, par exemple, ne consiste pas à élever les éléments de
au carré !
IV Matrices inversibles
Soit
une matrice carrée d’ordre
. On dit que la matrice
est inversible s’il existe une matrice carrée
d’ordre
telle que :
On admet sous les hypothèses précédentes que
.
1 Propriété
Soit
une matrice carrée d’ordre
. S’il existe une matrice carrée
d’ordre
telle que
, alors
est unique.
est appelée l’inverse de la matrice
et se note
Soit les matrices
:
et
- On souhaite montrer que est inversible d’inverse. On calcule le produitqui est une matrice de dimension.
La matrice
est donc inversible d’inverse
On note
V Écriture matricielle d’un système d’équations linéaires
Soit
le système de deux équations à deux inconnues :
Si on pose
,
et
le système
peut s’écrire :
1 Propriété (admise)
- est une matrice carrée qui admet une matrice inverse. Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle estadmet une solution unique ; elle s’obtient en calculant
-
Dans le cas d’une matrice
: La matriceest inversible si, et seulement si :
