iMadrassa

عموميات على الدوال

I عموميات على الدوال
1 مفهوم دالة

نعرف دالة

  على الجزء
 من مجموعة الأعداد الحقيقية  
  لما نرفق بكلّ عدد  من  عدد حقيقيا وحيدا

و نكتب: 

مصطلحات:

  • نسمي العدد
    صورة العدد 
    بالدالة 
    ونرمز إليه ب: 
  • نسمي العدد 
    سابقة العدد 
    بالدالة 
  • نسمي الجزء 
    مجموعة تعريف الدالة 
    و نرمز إليها ب:

 

تعريف دالة بدستور

نعرف الدالة

 بإعطاء مجموعة تعريفها 
و بإعطاء دستور يسمح بإيجاد  
 من أجل كل عدد x من 

دالة معرفة على
؛
كما يلي : من أجل كل عنصر x من

؛
  ،

مجموعة تعريف الدالة 

 هي:
؛

صورة العدد 0 بالدالة

هو العدد
حيث :

و هو

 

صورة العدد

بالدالة
هو العدد
حيث :
 و هو :

 

صورة العدد (1) بالدالة

هو العدد
حيث :  
و هو

 

نلاحظ أن من الممكن أن نجد عددين لهما نفس الصورة بدالة

العدد (-5) ليس له صورة بالدالة

 لأن (-5) لا ينتمي إلى

 

سابقة العدد 3 بالدالة

 هو العدد x الذي ينبغي أن ينتمي إلى
 و يحقق
معناه
معناه 
معناه
معناه 
أو

 

و بما أن

لا ينتمي إلى
؛
و
  ينتمي إلى
؛
فإن العدد 3 له سابقة واحدة بالدالة
  وهي

2 التمثيل البياني لدالة

نسمي التمثيل البياني للدالة

 في المستوي المنسوب إلى المعلم
مجموعة النقط
من المستوي حيث:
   و
علما أن   
هي مجموعة تعريف الدالة 
 ونرمز  إليه ب:
 ونقول أن
 هي معادلة  

نعتبر في هذا المثال الدالة g المعرفة على

   ب:

التمثيل البياني للدالة g في المستوي المنسوب إلى المعلم

هي المجموعة 
المتكونة من كل النقط
من هذا المستوي التي تتوفر فيها الشروط:
  و
معناه 
تنتمي إلى  
إذا و فقط إذا (x≠1) و

 

و منه النقطة

تنتمي إلى
لأن (0≠1)  و

النقطة

لا تنتمي إلى
لأن

 

لإيجاد نقط

نأخذ قيم للمتغير  x 
و نعوض في
لإيجاد y  و نحصل على جدول من هذا الشكل

 

و لرسم 

  ينبغي دراسة الدالة g  ثم نمثل النقط في المستوي و نربط بينها دون استعمال المسطرة

أ دالة بتمثيلها البياني

يمكن أن نعرف دالة بإعطاء تمثيلها البياني

لتكن  دالة

و ليكن
 تمثيلها البياني المرسوم في الوثيقة التالية

من هذا التمثيل البياني نستخرج

مجموعة تعريف

للدالة h :
؛

 

لإيجاد صورة العدد 2.5 بالدالة  نتبع المراحل التالية :

نمثل النقطة

التي فاصلتها2.5 على محور الفواصل ثم نرسم انطلاقا منهاالمستقيم (D) الموازي لحامل محور التراتيب

نعين نقطة تقاطع المستقيم

مع المنحنى
هنا هي النقطة    C

 

انطلاقا من النقطة C نرسم المستقيم

الموازي لحامل محور الفواصل الذي سيقطع محور التراتيب في النقطة

  •  نقرأ ترتيب
    هنا 5.2 تقريبا و منه صورة العدد 2.5 بالدالة h هي  h(2.5) ≈ 5.2
  •  لإيجاد سابقة العدد 2 بالدالة h نتبع المرحل التالية
  •  نمثل على محور التراتيب النقطة F التي ترتيبها 2
  •  انطلاقا من F نرسم المستقيم
    الموازي لحامل محور الفاصل و الذي يقطع المنحنى
    في النقطتين E و G
  •  انطلاقا من النقطتين  E و G نرسم المستقيمين (D2) و (D3) الموازيان لحامل محور الترتيب
  • و
    يقطعان حامل محور الفواصل في النقطتين
    و
    التي فاصلتها
    و

و منه للعدد 2 سابقتين بالدالة h  هي

و

3 تغيرات دالة

دالة معرفة على المجال I من

 

  • (  دالة متزايدة تماما على المحال ) معناه

(من أجل كل عددين a وb من I : إذا كان

فإن

 

  • (  دالة متناقصة تماما على المحال ) معناه

(من أجل كل عددين a و b من I : إذا كان

فإن

( f دالة ثابتة  على المحال I) معناه

من أجل كل عددين a و b من 

 

 

دالة متزايدة على المحال 
معناه
من أجل كل عددين a وb من I : إذا كان
فإن

 

  •  
    دالة متناقصة على المحال 
    معناه
    من أجل كل عددين a وb من I : إذا كان
    فإن

 

دراسة اتجاه تغيّر دالة هو تعيين المجالات التي تكون فيها الدالة متزايدة تماما والمجالات التي ستكون فيها الدالة متناقصة تماما والمجالات التي ستكون فيها الدالة ثابتة ونلخص هذه النتائج في جدور يدعى جدول تغيرات الدالة

أ دراسة اتجاه تغيّر دالة

هو تعيين المجالات التي تكون فيها الدالة متزايدة تماما والمجالات التي ستكون فيها الدالة متناقصة تماما والمجالات التي ستكون فيها الدالة ثابتة ونلخص هذه النتائج في جدور يدعى جدول تغيرات الدالة

الدالة 

المعرفة على
ب:
متزايدة تماما على
؛
 و متناقصة تماما على
؛


الدليل:

 

  •  من أجل كل عددين
    و
    من
    ؛
    : إذا كان
    فإن
    و هذا طبقا للدرس السابق الخاص بالترتيب في
    و منه
    و منه
    و منه
    متزايدة تماما على
    ؛

 

  •  من أجل كل عددين
    و
    من
    ؛
    : إذا كان
    فإن
    و منه
    و منه
    هذا طبقا للدرس السابق الخاص بالترتيب في
    و منه
    و منه
    و منه 
    متناقصة  تماما على 
    ؛
     و نلخص كل هذه النتائج في الجدول التالي :

 

يمكن تشكيل جدول تغيرات دالة انطلاقا من تمثيلها البياني
الوثيقة التالية تظهر

التمثيل البياني للدالة f في المستوي المنسوب إلى معلم

من الرسم نستنتج أن :

  • معرفة على
    ؛
  • f متزايدة تماما على
    ؛
    و أن
    دالة ثابتة على
    ؛
    و متناقصة تماما على
    ؛
    و منه جدول تغيراتها سيكون كالتالي :

4 القيم الحدية لدالة

f دالة معرفة على المجال I من
و a عدد حقيقي من المجال

 

  •  
    قيمة حدية عظمى للدالة 
    على المجال
    معناه

من أجل عدد حقيقي x من

وهذا معناه أن
هي أكبر قيمة تأخذه صور الدالة
على المجال

 

  •  
    قيمة حدية صغرى للدالة
    على المجال I معناه من أجل عدد حقيقي
    من 

وهذا معناه أن

هي أصغر قيمة تأخذه صور الدالة
على المجال
 

 

الدالة

معرفة على المجال
؛
وعلى  هذا المجال
تقبل قيمة حدية عظمى وهي
وتساوي 3 و تقبل قيمة حدية صغرى على هذا المجال و هي
التي تساوي
  و منه من أجل كل عدد حقيقي
من المجال
؛

 

5 الدوال المرجعية
أ الدالة الثابتة

إذا كان  

عددا حقيقيا ثابتا فإن الدالة 
تدعى دالة ثابتة

إذا رمزنا إلى هذه الدالة ب

: فإن
وهذا من أجل كل عدد حقيقي

  هي الدالة الثابتة المعرفة ب  
منه

،
،
،

التمثيل البياني لهذه الدالة g في المستوي المنسوب الى المعلم المتعامد و المتجانس 

 هو المستقيم (D)

ب الدالة التآلفية

إذا كان

  عدد حقيقي حيث  
و  
عدد حقيقي فإن الدالة

  تدعى دالة تآلفية للمتغير الحقيقي

إذا رمزنا إلى هذه الدالة ب

  : فإن

  • مجموعة التعريف الدالة التآلفية هي مجموعة الأعداد الحقيقية
  • إذا كان
    فإن الدالة التآلفية متزايدة تماما على
  • إذا كان
     فإن الدالة التآلفية متناقصة تماما على  

التمثيل البياني للدالة الثابتة هو مستقيم

الدالة

 المعرفة على
 ب:
   دالة تآلفية و هي متناقصة تماما على

جدول تغيراتها هو:

وتمثيلها البياني في المستوي هو المستقيم  المرسوم في الوثيقة الموالية

ت الدالة "مربع"

نسمى دالة "مربع" الدالة 

إذا رمزنا إلى هذه الدالة ب

: فإن

  • مجموعة التعريف الدالة "مربع" هي مجموعة الأعداد الحقيقية
  • الدالة" مربع" متزايدة تماما على
  • الدالة "مربع" متناقصة تماما على 
  • الدالة "مربع" دالة زوجية و منه تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم المتعامد
    يقبل محور التراتيب كمحور التناظر
  • نسمى التمثيل البياني للدالة "مربع" قطع مكافئ

جدول تغيرات الدالة "مربع"

التمثيل البيني للدالة "مربع"

ث الدالة "مقلوب"

نسمى دالة "مقلوب" الدالة 

إذا رمزنا إلى هذه الدالة ب

  : فإن   

  • مجموعة التعريف الدالة "مقلوب" هي المجموعة
  • الدالة"مقلوب" متناقصة تماما على
  • الدالة "مقلوب" متناقصة تماما على 
  •  الدالة مقلوب دالة فردية ومنه تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم  
      يقبل المبدأ  

    كمركز التناظر

  • نسمى التمثيل البياني للدالة "مقلوب" قطع زائد

• جدول تغيرات الدالة "مقلوب"

التمثيل البياني للدالة "مقلوب"

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • حنان شيخاوي
  • 177 نقطة
  • abderrazak rahmani
  • 177 نقطة
  • Pep Milou
  • 172 نقطة
  • Meriem Meriem
  • 142 نقطة
  • khoudir lakaf
  • 117 نقطة
  • salsabil zaineb
  • 108 نقطة
  • Wail Aouadi
  • 107 نقطة
  • Bęlmåbrøúk Ãÿmęn
  • 102 نقطة
  • Chaimaa Keniche
  • 85 نقطة
  • houria hamadou
  • 66 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.