iMadrassa

عماليات على الدوال و اتجاه تغير دالة

I عمليات على الدوال
1 مجموع دالتين

 

دالة عددية للمتغير الحقيقي  
معرفة على المجال  
من 

 

  دالة عددية للمتغير الحقيقي  
  معرفة على المجال 
من

نسمي مجوع الدالتين

و
 الدالة  
المعرفة على 

ب

و هذا من أجل كل عدد   من

الدالة  المعرفة على
   ب:
  يمكن اعتبارها كمجموع دالتين

   حيث   

  و

2 جداء دالتين

نسمي جداء الدالتين  

و 
الدالة  
  المعرفة على
 ب:    
و هذا من أجل كل عدد   من

نعلم أن الدالة  

المعرفة ب  
  دالة تآلفية معرفة على
  و أن الدالة   
  المعرفة ب  
دالة تآلفية معرفة على 

وبالتالي جداء الدالتين 

و
    هي 
  الدالة  المعرفة على  
ب:   
ومنه 

3 الدالة λf

نسمي جداء الدالة  

والعدد الحقيقي
  الدالة
  المعرفة على  
ب:
و هذا من أجل كل عدد   من

الدالة  

المعرفة على
  ب:  
  يمكن اعتبارها جداء الدالة
 والعدد الحقيقي

     علما أن  
    و أن

4 حاصل قسمة دالتين

 

دالة عددية للمتغير الحقيقي  
معرفة على المجال 
من  

 

دالة عددية للمتغير الحقيقي  
معرفة على المجال 
من

نسمي حاصل قسمة الدالتين   

و 
 الدالة  
المعرفة على  
    ب:        

نعلم أن الدالة  

المعرفة ب
  دالة تآلفية معرفة على
 و 
أن الدالة
  المعرفة ب  
  دالة تآلفية معرفة على

حاصل قسمة الدالتين 

و  
هي  
الدالة الناطقة   ا لمعرفة على  
ب:  

5 مقلوب دالة

نسمي  

  الدالة مقلوب  
ا  لدالة الدالة     المعرفة على  
   ب:   

نعلم أن  الدالة 

  المعرفة ب  
  دالة تآلفية معرفة على 

  ا  لدالة مقلوب الدالة  

هي الدالة  
  المعرفة على  
    ب:  

6 مركب دالتين

نسمي الدالة مركب الدالتين

و
  على هذا الترتيب الدالة  
  المعرفة على المجموعة  

 

 

   ب:  

نعلم أن الدالة  

المعرفة ب
  دالة تآلفية معرفة على  
و    أن
الدالة   المعرفة ب
 دالة تآلفية معرفة على

 

 مركب الداتين

  و
  على هذا الترتيب هي  الدالة المركبة    
 المعرفة على

 

ب: 

  معناه    

 

منه   

  وبالتالي:

 

  

 

مركب الداتين

  و
 على هذا الترتيب هي 
    الدالة الناطقة  المعرفة على

 

ب:  

معناه   

 

منه  

  وبالتالي:

 

 

 

 

 إذا كانت
أو  
  أو 

                        في الحالات الأخرى   

II اتجاه تغير الدوال(f+k) ،(λf) و(g∘f)
1 اتجاه التغير الدالة (f+k)

 

هي الدالة الثابتة المعرفة على 
ب:  
و 
دالة عددية معرفة على المجال
من
.

الدالة

هي مجموع الدالتين 
و

الدالة

    الدالة
لها نفس اتجاه التغير على المجال

  

الدالة المعرفة ب: 
متزايدة تماما على 
  لأن 

 هي الدالة الجذر التربيعي التي هي متزايدة تماما على 
  و
 هي الدالة الثابتة 

إثبات عن صحة المبرهنة

 لنبرهن مثلا أن 

    و
     متزايدتان معا على المجال   

 

● لنفرض أولا أن  

   متزايدة على  
  و أن 
  و
  عنصرين من 
حيث  :

 

 

  منه   
  لأن  
متزايدة على 

 

و منه  

    

و منه       

        معنا ه أن  
متزايدة على 

 

 

● لنفرض أولا أن    

متزايدة على  
  و أن
  و
  عنصرين من
 حيث   
:

منه    

  لأن
 متزايدة على

و منه 

و منه     

  معنا ه أن  
متزايدة على

و نبر هن بنفس الطريقة على الحالات الأخرى

2 تمثيل البياني للدالة (f+k)

المستوي منسوب إلى المعلم 

التمثيل البياني (C(f+k)) الممثل للدالة  يستنتج من التمثيل البياني (Cf) الممثل للدالة  بالانسحاب الذي شعاعه  

 

هي الدالة الجذر التربيعي و (Cf)تمثلها البياني في المستوي

 

هي الدالةالمعرفة ب:
  و
تمثيلها البياني في نفس المستوي ، أنضر لرسم الموالي الذي يظهر كيف نرسم
اعتمادا على

 

3 اتجاه التغير الدالة (f+g)

    

و
  دالتين معرفتين على نفس المجال   
      

 لا نستطيع استنتاج تغيرات الدالة 

في الحالات الأخرى

إذا كانت

و
متزايدتان تماما على المجال
فإن الدالة
متزايدة تماما على

إذا كانت 

و 
  متناقصتان تماما على المجال
 فإن الدالة  
متناقصة تماما على

4 اتجاه التغير الدالة (λf)

 

دالة عددية معرفة على المجال
من
،
  عدد حقيقي غير معدوم

إذا كان

  عدد حقيقي موجب تماما فإن
  و
 لها نفس اتجاه التغير على

إذا كان

 عدد حقيقي سالب تماما فإن
و 
متعاكسة اتجاه التغير على

نحصل على المنحنى 

الممثل للدالة  
انطلاقا من
 الممثل للدالة
بضرب ترتيب كل نقطة من
 بالعدد

    هي الدالة الجذر التربيعي و       
   تمثلها البياني في المستوي

  

هي الدالة المعرفة ب:  
  و    
         تمثيلها البياني في نفس المستوي  أنضر لرسم   
   الموالي الذي يظهر كيف نرسم اعتمادا على  

التمثيل البياني للدالة |f|

 

دالة معرفة على المجال
  من
  و ليكن  
تمثيلها البياني

  • إذا كانت   
      دالةموجبة على المجال 
      أي(من أجل كل عدد  
    من
      فإن   
    )

فإن 

  ومنه المنحنى
 الممثل للدالة  
ينطبق على
  الممثل للدالة 

 

  •  إذا كانت  
    دالةسالبة على المجال  
    أي(من أجل كل  
      من
     فإن  
    )

فإن  

ومنه المنحنى  
الممثل للدالة  
و  
الممثل للدالة  

 متناظران بالنسبة لحامل محور الفواصل

  

دالة و ليكن  
  تمثيلها البياني و المنحنى
  المرسوم  على اليسار يممثل للدالة
 ، انضر للرسم لكي تتأكد من صحة القاعدة السابقة

5 اتجاه التغير الدالة$$ (g∘f)$$
صورة مجال بدالة

   

دالة معرفة على المجال  
  من

نسمي صورة المجال

 بالدالة  
المجموعة
  حيث: 

  أنضر لرسم،   

دالة معرفة على المجال  
أي  
و  
تمثيلها البياني .

 

صورة المجال

  بالدالة
  هي 
  أي

 

نلاحظ أن لما  يتغير

  في المجال  
الصور تتغير في المجال 
  و بالتالي

 

صورة المجال

  بالدالة   
هو المجال  
و  منه  

 

-اتجاه التغير الدالة

 

  دالة معرفة على المجال 
  و
  دالة معرفة على المجال 

 إذا كانت  

و 
  لها نفس اتجاه التغير على كل من
  و
     فإن  
متزايدة على
 

 إذا كانت

 و
 متعاكسة في اتجاه التغير على كل من 
  و  
  فإن 
  متناقصة على
 

إثبات عن صحة المبرهنةفى الحالة التالية

لنبرهن مثلا أن إذا كانت  

متزايدة على  
و 
متناقصة على  
فإن  
متناقصة على 

 

 و
  عنصرين من 
حيث   
:

 

منه  

لأن  
متزايدة على 

 

        و منه  

  لأن  
متزايدة على 

 

      و منه    

       معنا ه أن
  متناقصة  على 

-التمثيل البياني للدالة

المستوي منسوب إلى المعلم 

    

عدد حقيقي كيفي،  
دالة معرفة على المجال  

 

دالة معرفة على المجال
و
 تمثيلها البياني المستوي

نفرض أن من أجل كل عدد حقيقي

  من
  فإن :

نضع :

 منه من أجل كل عدد حقيقي
من
  فإن :

 

المنحنى

  الممثل للدالة
حيث  
يستنتج من المنحنى
الممثل للدالة
بالانسحاب الذي شعاعه 

 نقرض أن : 

  و أن (Cf) هو تمثيلها البياني في المستوي إلى المعلم   
و نفرض أن  
  و أن(Ch) هو تمثيلها البياني في المستوي

نلاحظ أن :  

منه (Ch)يستنتج من (Cf) بالانسحاب الذي شعاعه 

التمثيل البياني للدالة

المستوي منسوب إلى المعلم  

و
عددان حقيقيان ،
دالة  و
  تمثيلها البياني المستوي

  

دالة و
تمثيلها البيانيفي نفس  المستوي

المنحنى

  الممثل للدالة gحيث
 يستنتج من المنحنى
  الممثل للدالة
بالانسحاب الذي شعاعه 

 

 

III عناصر تناضر منحنيات
1 الدالة الزوجية

 

دالة و  
مجموعة تعريفها

  

دالة زوجية إذا وفقط إذا من أجل كل عنصر 
  من :   

 

الدالة  المعرفة على
 ب:  
دالة زوجية لأن من أجل كل عدد حقيقي  
:

1) 

2)

 

  

هو التمثيل البياني للدالة 
في المستوي المنسوب إلى معلم    

إذا كانت

دالة زوجية فإن تمثيلها البياني   
  يقبل محور الترتيب كمحور تناظر

 الوثيقة الموالية تبين المنحنى الوثيقة الموالية تبين المنحنى  الممثل للدالة  حيث  الممثل للدالة  حيث

2 الدالة الفردية

  

دالة و 
    مجموعة تعريفها

  

دالة فردية  إذا وفقط إذا من أجل كل عنصر
   من  :  

 

الدالة  المعرفة على  
ب:  
دالة فردية  لأن من أجل كل عدد حقيقي  :

1)

2) 

 

 

هو التمثيل البياني للدالة
في المستوي المنسوب إلى معلم   

إذا كانت 

دالةفردية فإن تمثيلها البياني
يقبل المبدأ
  كمركز تناظر

مثال: الوثيقة الموالية تبين المنحنى

الممثل للدالة  حيث

نلاحظ أن

يقبلالمبدأ
كمركز تناظر

3 محور تناظر منحنى

  

عدد حقيقي كيفي ،  
دالة و   
مجموعة تعريفها

المستقيم 

  ذو المعادلة  
محور تناظر للمنحنى  
الممثل للدالة إذا وفقط إذا من أجل كل عدد حقيقي
 حيث

   و     
      و  

 

 المنحنى

 الممثل للدالة
حيث  
يقبل المستقيم
  ذو المعادلة

 كمحور تناظركما تظهره الوثيقة

 لأن   من أجل كل عدد حقيقي  

  و
 تنتميان إلى 

بما أن 

  و لأن   
  بما أن

 

  و  

4 مركز تناظر منحنى

A(a ;b)  نقطة من المستوي  ،

 دالة و
  مجموعة تعريفها

النقطة A(a ;b) مركز تناظر للمنحنى  

الممثل للدالة إذا وفقط إذا من أجل كل عدد حقيقي
حيث 
ينتمي إلى :  

 

]ينتمي إلى  
[ و 

لمنحنى 

  الممثل للدالة
حيث  
يقبل النقطة 

كمركز تناظركما تبينه الوثيقة الموالية

لأن من أجل من أجل كل عدد حقيقي 

  و
 تنتميان إلى 
  بما أن 

و لأن

 بما أن

 

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.