iMadrassa

الإشتقاقية

I الاشتقاقية
1 العدد المشتق-معادلة المماس
مفهوم نهاية منتهية لدالة عند العدد x_0

دالة عددية معرفة على مجال مفتوح يشمل

أغلبية الدوال تحقق:

إذا أقترب المتغير

بالقدر الكاف من
فإن العدد
  سيقترب من

 

نلخص هذه الجملة بهذه الصيغة:إذا  

  فإن   
و نكتب : 

 

نسمي العدد 

النهاية المنتهية للدالة
عند

النهاية المنتهية عند

للدوال المرجعية هي قيمتها عند

 

معناه إذا كانت

دالة مرجعية فإن:

تعريف الدالة القابلة للاشتقاق عندx_0

دالة  معرفة على المجال المفتوح 
و
  عدد حقيقي ينتمي إلى
  و
  عدد حقيقي كيفي

 

(

قابلة للاشتقاق عند
) إذا و فقط إذا    
أو

 

إذا وضعنا      

 هذا التعريف يصبح كالتالي

(

قابلة للاشتقاق عند
) إذا و فقط إذا

 

 و نسمي في هذه الحالة العددالحقيقي

العدد المشتق لدالة
عند
و نرمز إليه ب: 

 

 و نكتب : 

المثال1

دالة معرفة على 
  ب  : 

●ادرس قابلية اشتقاق الدال

عند
علما أن :

لدينا    

، لنحسب  

 

 

  و 

 

 و منه 

 

و منه  

 

و منه

  و منه 

 

   

 

و بما أن  الدالة التآلفية g ذات المتغير

المعرفة ب:
   معرفة عند 0 فإن

 

 

 

 

و منه

   و بالتالي الدالة

 

 تقبل الاشتقاق عند 

  و  
  هو العدد المشتق للدالة
  عند  
و نكتب : 

المثال2

دالة معرفة على 
؛
ب  :

ادرس قابلية اشتقاق الدالة 

عند
علما أن : 

لدينا

، لنحسب 
لما

و منه   
  و منه 

و منه 

  و منه

  و منه 

و بما أن  الدالة 

ذات المتغير
المعرفة ب: 
معرفة عند 
فإن

و منه : 

و منه 

و بالتالي الدالة  
تقبل للآشتقاق عند 
و

هو العدد المشتق للدالة 

عند  
و نكتب :  

 

أ التفسير الهندسي للعدد المشتق

عدد حقيقي ،
دالة قابلة للاشتقاق عند
  و
تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم

 

 نقطة ثابتة من

و
نقطة متحركة  على

 

معامل التوجيه المستقيم

هو  

 

  و لو نضع
 و منه

 

معامل التوجيه المستقيم 

هو

 

لما تقترب النقطة

من النقطة
  معناه لما  
   فإن
و  المستقيم 
سيحتل وضعية نهائية ممثلة بالمستقيم

 

معناه

 

المستقيم

يدعى مماس للمنحنى  
عند النقطة التي فاصلتها

 

معامل التوجيه لهذا المماس

هو  
    و هو إذن

ب معادلة المماس:

دالة و
    تمثيلها البياني في المستوي المنسوب إلى معلم

 

إذا كانت الدالة

تقبل الاشتقاق عند
فإن تمثيلها البياني  
يقبل مماسا عند النقطة  
  معادلته :   

 

 

مثال1:

  دالة معرفة على 
  ب :  
و 
  تمثيلها البياني في مستوي

 

الدالة

تقبل الاشتقاق عند
و منه  
يقبل مماسا في النقطة  
  معادلته :

 

 

 و بما أن  

     و 

 

فإن:

  و هي :  
  و هو المستقيم
المرسوم في الوثيقة الموالية

مثال 2:

 

دالة قابلة للاشتقاق عند
و تمثيلها البياني في مستوي  و
هو المماس للمنحنى 
  عند النقطة  
  كما هو مرسوم في الوثيقة  الموالية

 

  1. عين العدد
     

 الوثيقة تظهر أن :  

 منه 

المستقيم  

يمر من النقطة  
 منه معامل التوجيه المماس  
هو  

  و  منه:  

ت التقريب التآلفي لدالة عند x_0:

عدد حقيقي ،
دالة قابلة للاشتقاق عند
  معناه أن

 

إذا كان

 قريب جدا من 0 أي
 قريب من
فإن    

 

 و منه  

 

 

و منه 

 

نسمي العبارة    

 التقريب التآلفي للعدد  
عندما يكون
يؤول إلى 0

باستعمال التقريب التآلفي للدالة مقلوب عند 2 ، جد قيمة مقربة للعدد 

 

 

الدالة "مقلوب  

"  تقبل الاشتقاق على
    و دالتها المشتقة   
 ومنه   

 

 

 

نعلم أن  

 و هذا معناه أن إذا  
صغير جدا(يؤول إلى 0) فإن : 

 

 

معناه أن :    

 

 

 و منه   

و منه بعد التعويض نجد

 

نلاحظ أن  

  هو  
  نستعمل القانون الذي تحصلنا عليه من أجل 

 

نجد :  

 و منه

 

دالة  معرفة على المجال المفتوح
 و  
 عدد حقيقي ينتمي إلى

2 الدالة المشتقة – مشتقة الدوال المألوفة –العمليات على الدوال المشتقة
تعريف الدالة المشتقة:

(

قابلة للاشتقاق على المجال
 ) إذا و فقط إذا (
قابلة للاشتقاق عند
من أجل كل عدد
من
)

 وفي هذه الحالة

نسمي الدالة المشتقة للدالة

الدالة
المعرفة على المجال  
 
و التي بكل عدد
العدد المشتق  
 

 

بما أننا تعودنا على تعريف الدوال بالمتغير

نستبدل في هذا التعريف (بعد إجاد  
 بدلالة
)

 

المتغير بالمتغير  و تصبح الدالة المشتقة كالتالي    

أ الدالة المشتقة للدوال المألوفة:
a الدالة المشتقة للدالة الثابتة

عدد حقيقي ثابت

 الدالة الثابتة  

 تقبل الاشتقاق على
و دالتها المشتقة  
هي  

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

الدليل عن صحة المبرهنة

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

 عدد حقيقي كيفي ، لدينا  
، لنحسب 

 

و

 

و  

 منه  

 

و منه   

 

 

و منه  

     و منه  

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير

المعرفة ب:
 معرفة عند 0 فإن  

و منه :  

 

و منه  

 

  و بالتالي الدالة  

تقبل للآشتقاق عند
 و  
 هو العدد المشتق للدالة
عند

 

و نكتب :

 

و منه  

يعني أن 

 

نستبدل

ب
في هذه النتيجة  لكي تصبح  
و بصفة نهائية   معناه     

 

b الدالة المشتقة للدالة التآلفية

و
عددن حقيقيان حيث  
غير معدوم  

 الدالة التآلفية    

  تقبل الاشتقاق  على
  و دالتها المشتقة  
هي    
 

 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

الدليل عن صحة المبرهنة

 لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

 عدد حقيقي كيفي  ، لدينا
  ، لنحسب  

 

 

 و 

 

 

 

    و منه  

 

و منه

 

و منه  

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير المعرفة ب:

 معرفة عند 0 فإن

    

 

و منه : 

 

و منه 

و بالتالي الدالة  تقبل الاشتقاق عند
 و 
    هو العدد المشتق للدالة
عند

 

و نكتب :

 

و منه   

 يعني أن    

 

نستبدل

ب
 في هذه النتيجة  لكي تصبح و بصفة نهائية   معناه 

c الدالة المشتقة للدالة "مربع"

الدالة "مربع "

    تقبل الاشتقاق على 
و دالتها المشتقة
  هي 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:  

الدليل عن صحة المبرهنة

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة

 عدد حقيقي كيفي ، لدينا  
،

لنحسب      

 

   

 و  
 

 

 

 

 

و منه    

 

و منه     

 

و منه     

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير المعرفة ب:  معرفة عند 0 فإن   

و منه :   

  

و منه  

  و  

 

بالتالي الدالة  تقبل الاشتقاق عند    
و    
هو العدد المشتق للدالة  
عند

 

و نكتب :

 

نستبدل

 ب
في هذه النتيجة  لكي تصبح و بصفة نهائية  

d الدالة المشتقة للدالة "القوة النونية"

 

عدد طبيعي غير معدوم 

 الدالة "القوة النونية"    

تقبل الاشتقاق  على 
و دالتها المشتقة
 هي   

 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

e الدالة المشتقة للدالة "مقلوب"

الدالة "مقلوب"  

  تقبل الاشتقاق على
   و دالتها المشتقة
 هي  
 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

الدليل عن صحة المبرهنة

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة باستعمال التعريف

(  

قابلة للاشتقاق عند
) إذا و فقط إذا  

 

 عدد حقيقي غير معدوم ، لدينا  

 

، لنحسب   

 

 

  و    
  و منه     

 

 

و منه   

 

و منه   

  و منه

 

و منه 

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير

المعرفة ب:
 معرفة عند
لأن

 

فإن  

ومنه:    

 

 

و منه 

  و بالتالي الدالة  تقبل الاشتقاق عند
 
و    
هو العدد المشتق للدالة
عند

 

و نكتب :

                       

 

و منه     

   يعني أن      
 

 

نستبدل

ب
  في هذه النتيجة  لكي تصبح   و بصفة نهائية  
  معناه 

f الدالة المشتقة للدالة "الجذر التربيعي"

الدالة "الجذر التربيعي"  

  تقبل الاشتقاق على 

  و دالتها المشتقة  

هي 

و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:

الدليل عن صحة المبرهنة

لنبرهن عن صحة هذه المبرهنة


  عدد حقيقي موجب تماما ، لدينا  
، لنحسب  

 

 

و  

 

و منه 

 

و منه

 

و منه 

 

 

 

 

و بما أن  الدالة الثابتة g ذات المتغير 

  المعرفة ب:   

    معرفة عند
  لأن   

 

فإن 

 

و منه :  

 

و منه   


 

 

و بالتالي الدالة   

تقبل للآشتقاق عند
   و 
هو العدد المشتق للدالة
عند

 

و نكتب : 

 

و منه  

  يعني أن 

 

نستبدل 

ب 
في هذه النتيجة  لكي تصبح و بصفة نهائية  
  معناه  

 

 

g الدالة المشتقة للدالة "جيب تمام": "cos"

الدالة "جيب تمام"

تقبل الاشتقاق  على
و دالتها المشتقة 
هي

 و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

 

h الدالة المشتقة للدالة "جيب ": "sin"

الدالة "جيب "

تقبل الاشتقاق  على
و دالتها المشتقة 
هي

 و نلخص هذه المبرهنة كما يلي:   

 

عن صحة المبرهنتين الأخيرتين يحتاج إلى خواص الدالتين 

و
ستعطى في درس حساب المثلثات

يمكن تلخيص كل هذه النتائج في الجدول التالي

  • إختبارات
  • 20
  • الأجوبة الصحيحة
  • False
  • الأجوبة الخاطئة
  • False
  • مجموع النقاط
  • False

المراتب الخمس الأولى في Quiz

  • جلـــــــــــــــــــــــول صغيـــــــــــــــــــــــــر
  • 134 نقطة
  • سيد احمد جلولي
  • 120 نقطة
  • sabri ben abdallah
  • 117 نقطة
  • Ou samia
  • 99 نقطة
  • yousra abdlmoumenaoui
  • 82 نقطة
  • soraya bireche
  • 60 نقطة
  • Saibi Saifou
  • 55 نقطة
  • 10 Pedro
  • 43 نقطة
  • Èl Høùda Nøûr
  • 37 نقطة
  • Mzabi Karim
  • 23 نقطة

قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.



قم بالدخول للإطلاع على المزيد من المحتوى

لتتمكن من الوصول إلى جميع الدروس والتمارين والمسابقات والفيديوهات وتصفح الموقع براحة قم بالدخول أو بتسجيل حساب مجانا.